--- title: "偏微分方程（PDE）" slug: pde language: zh-TW source: https://aiterms.tw/terms/pde updated_at: 2026-07-30 tags: [數學, 科學機器學習, PINN, 數值方法, 物理模擬] ipas_term: false --- # 偏微分方程（PDE） 包含多個自變數及其偏導數的方程式，廣泛用於描述物理現象，近年成為科學機器學習的核心研究對象。 ## 完整說明 偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是含有未知函數對兩個或多個自變數偏導數的方程式，是描述連續物理系統（如流體力學、熱傳導、電磁場）的數學語言。在 AI 領域，PDE 近年備受關注，主因是物理知識融合神經網路（Physics-Informed Neural Networks，PINN）等方法直接以神經網路求解或近似 PDE，突破傳統數值方法在高維問題上的計算瓶頸。 ## 常見問題 ### 偏微分方程和 AI 有什麼關聯？ PDE 與 AI 的交叉點主要體現在兩個方向。第一是用 AI 求解 PDE：傳統數值方法（有限差分、有限元素）在高維問題（如高維金融模型、量子化學）上計算成本呈指數增長，物理知識融合神經網路（PINN）和神經算子（FNO、DeepONet）提供了一類能在高維空間高效近似 PDE 解的深度學習方法，在流體模擬、氣候預測、材料設計等領域展現出顯著的速度優勢。第二是 PDE 作為 AI 模型的設計靈感：擴散模型（Diffusion Models）的數學框架本質上是一個隨機微分方程（SDE），連續正規化流（Continuous Normalizing Flows）用常微分方程描述資料分佈的連續轉換。這些以微分方程為基礎設計的生成模型在影像生成、科學模擬等任務中取得了突出成果，使得 PDE 成為現代 AI 研究不可迴避的數學背景知識。 ### 什麼是 PINN（Physics-Informed Neural Networks）？ 物理知識融合神經網路（PINN）是一種將物理定律以損失函數約束形式嵌入神經網路訓練過程的方法，由 Raissi 等人於 2019 年在 Journal of Computational Physics 發表的論文中系統性提出。訓練 PINN 時，損失函數由三部分組成：邊界條件損失（在定義域邊界上神經網路輸出應滿足給定的邊值條件）、初始條件損失（在時間起點上應滿足給定的初始狀態）、以及 PDE 殘差損失（在定義域內部隨機採樣的配點上，對神經網路輸出計算偏導數並代入 PDE 方程式，殘差應趨近於零）。優化這個組合損失函數，使神經網路的輸出函數同時符合觀測數據和物理定律。相比純資料驅動方法，PINN 在訓練數據極少的情況下也能生成物理一致的解；相比傳統數值求解器，PINN 無需網格且能自然處理高維問題。主要挑戰包括訓練不穩定性和多損失項的權重平衡問題。 ### 沒有深厚數學背景的 AI 工程師需要學 PDE 嗎？ 這取決於工作領域。對於大多數以 NLP、推薦系統、電腦視覺為主的 AI 工程師，PDE 的直接應用較少，不需要深入掌握偏微分方程的分析解法或數值方法細節。然而，若工作涉及以下任一領域，PDE 知識會有顯著價值：科學 AI（AI for Science）：如生物醫學模擬、氣候建模、材料設計；工程模擬：如流體力學、結構分析、熱傳導的深度學習加速；以及生成模型研究：理解擴散模型（Stable Diffusion 等）的數學基礎需要隨機微分方程知識，而隨機微分方程是 PDE 的延伸。對這些方向有興趣的從業者，建議至少掌握：PDE 的基本概念（偏導數、邊值問題、典型方程式類型）、PINN 的損失函數設計邏輯、以及神經算子（如 FNO）的基本工作原理，而無需能手推偏微分方程的解析解。 --- 來源：https://aiterms.tw/terms/pde 快查頁：https://aiterms.tw/terms/pde 最後更新：2026/07/30 深度解說：https://aiterms.tw/learning/what-is-pde