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title: "負二項分布（Negative Binomial Distribution）"
slug: negative-binomial-distribution
language: zh-TW
source: https://aiterms.tw/terms/negative-binomial-distribution
updated_at: 2026-06-22
tags: [機率分布, 統計學, 計數模型, 貝葉斯統計, 過度離散]
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# 負二項分布（Negative Binomial Distribution）

描述在一連串獨立伯努利試驗中，達到指定成功次數之前所需失敗次數的機率分布。

## 完整說明

負二項分布（Negative Binomial Distribution）是離散機率分布的一種，用於模擬在每次試驗成功機率固定的重複試驗中，取得第 r 次成功之前恰好發生 k 次失敗的機率。與卜瓦松分布（Poisson Distribution）相比，負二項分布允許期望值與變異數不相等，更能處理計數資料的過度離散（overdispersion）現象，因此在生態學、醫學研究、NLP 文本分析等領域廣泛應用。

## 常見問題

### 負二項分布的「負」是什麼意思？名字的由來是什麼？

「負」源自於其機率質量函數可以用廣義二項式定理的「負指數展開」來表示。傳統二項分布計算「n 次試驗中恰好 k 次成功的機率」，而負二項分布可以看作是「反過來」計算「要得到 r 次成功，失敗幾次」的問題，且允許試驗次數超過 r（即可以失敗很多次）。從代數角度看，其組合數 C(k+r-1, k) 等同於廣義二項係數用負整數索引的情形，這正是「負二項」名稱的數學來源。在實際應用中，最重要的是記住它用於描述「到達第 r 次成功所需的等待（失敗）次數」這個直覺，數學名稱只是歷史慣例。

### 什麼情況下應該選擇負二項分布而非卜瓦松分布來建模計數資料？

核心判斷標準是「過度離散」：計算你的計數資料的樣本平均值和樣本變異數，如果變異數明顯大於平均值，就表示存在過度離散，負二項分布通常是更合適的選擇。正式的統計檢定方法包含 Cameron-Trivedi 過度離散檢定，或先配適卜瓦松回歸再對殘差進行診斷（如 Pearson chi-squared / df 顯著大於 1）。在 Python 中，可用 statsmodels 的 NegativeBinomial 類別配適；在 R 中，MASS 套件的 glm.nb() 函數是標準工具。若計數資料同時出現大量零值（Zero-Inflation），應考慮零膨脹負二項模型（Zero-Inflated Negative Binomial, ZINB）。

### 負二項分布與幾何分布有什麼關係？

幾何分布（Geometric Distribution）是負二項分布的特例：當 r = 1 時，負二項分布退化為幾何分布，即在得到第一次成功之前失敗次數的機率分布。直觀地說，幾何分布回答「等到第一次成功需要幾次失敗」，而負二項分布回答「等到第 r 次成功需要幾次失敗」。從另一個角度看，若 r 個相互獨立的幾何隨機變數（同參數 p）相加，其和就服從 NB(r, p)，這個可加性讓負二項分布在「多個獨立等待過程的總等待次數」這類場景下非常自然。在機率論課程中，幾何分布通常先講，負二項分布作為其自然推廣跟進。

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來源：https://aiterms.tw/terms/negative-binomial-distribution
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最後更新：2026/06/22
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