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title: "共變異矩陣（Covariance Matrix）"
slug: covariance-matrix
language: zh-TW
source: https://aiterms.tw/terms/covariance-matrix
updated_at: 2026-06-22
tags: [線性代數, 統計學, PCA, 多變量分析, 特徵分解]
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# 共變異矩陣（Covariance Matrix）

描述多個隨機變數兩兩之間線性相關程度與各自變異數的對稱方陣。

## 完整說明

共變異矩陣（Covariance Matrix），又稱協方差矩陣，是描述多維隨機向量中各維度之間線性關係的矩陣結構。矩陣的對角線元素為每個變數自身的變異數（variance），非對角線元素為兩個不同變數之間的共變異數（covariance）。共變異矩陣是主成分分析（PCA）、線性判別分析（LDA）、多變量常態分布等許多 ML 和統計方法的核心數學結構。

## 常見問題

### 共變異矩陣和相關矩陣有什麼差別，什麼時候用哪個？

共變異矩陣保留了各變數原始量綱的資訊（元素值受單位影響），相關矩陣是標準化版本（元素值在 -1 到 1 之間，不受單位影響）。在 PCA 中，若各特徵的量綱差異很大（如年齡以歲計、薪資以萬元計），直接對共變異矩陣做 PCA 會讓數值範圍大的特徵主導主成分；此時應先標準化再做 PCA（等效於對相關矩陣做 PCA）。若各特徵量綱相同（如多個物理感測器的相同單位讀數），對共變異矩陣做 PCA 可保留原始方差資訊。

### PCA 為什麼要用到共變異矩陣？

PCA 的目標是找到資料方差最大的方向（即主成分），而共變異矩陣正好完整描述了資料在各方向的方差分布。對共變異矩陣做特徵分解（eigendecomposition），得到的特徵向量就是主成分的方向，對應的特徵值就是該方向上的方差大小。選取最大的幾個特徵值對應的特徵向量，就能找到保留最多原始資訊（方差）的低維子空間，這正是 PCA 降維的幾何本質。

### 特徵之間的共變異數為 0，代表它們互相獨立嗎？

不一定。共變異數（或相關係數）衡量的只是兩個變數之間的線性關係；共變異數為 0 只代表「線性無關」（linearly uncorrelated），但兩個變數之間仍可能存在非線性關係，例如 X 與 X^2 的共變異數在 X 對稱分布時為 0，但 X 和 X^2 顯然有強烈的依賴關係。統計獨立（independence）是更強的條件，意味著所有類型的關係（線性與非線性）都不存在。對於多變量常態分布，線性無關與獨立是等價的，這是常態分布的特殊性質。

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來源：https://aiterms.tw/terms/covariance-matrix
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最後更新：2026/06/22
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