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title: "餘弦相似度（Cosine Similarity）"
slug: cosine-similarity
language: zh-TW
source: https://aiterms.tw/terms/cosine-similarity
updated_at: 2026-07-29
tags: [統計方法, 機器學習, 推薦系統, 電腦視覺, AI應用, Prompt工程]
ipas_term: false
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# 餘弦相似度（Cosine Similarity）

> **你有沒有遇過兩段文字長短不同，卻想知道它們有多像？**
>
> 你可以把餘弦相似度想成「看兩個向量方向像不像」：它不太管長度，只看方向是否接近。
>
> 它很重要，因為文本、向量和語意搜尋常需要比相似程度，餘弦相似度在這種場景特別好用，也常是向量檢索的第一個排序標準。

### 容易混淆

> **餘弦相似度 vs 歐氏距離 vs 內積**
>
> 餘弦相似度：看方向，不太看長度
>
> 歐氏距離：看兩點物理上隔多遠
>
> 內積：會受方向和長度一起影響
>
> 最關鍵的區別：餘弦相似度重點是「方向一致不一致」。

### 記住這句就好

> 方向像不像，比長短更重要。

### 實際案例

> **語意搜尋**
>
> 前：只靠關鍵字，字不同就找不到
>
> 後：把查詢和文件轉成向量，再用餘弦相似度找最接近的內容
>
> **推薦相似文章**
>
> 前：文章長度不同，直接比字數沒意義
>
> 後：用向量方向判斷主題是否接近，再推相似內容

### 算法與應用

> 餘弦相似度常和嵌入表示、向量資料庫、語義搜尋、Word2Vec 一起出現
>
> 它會先把資料轉成向量，再用夾角來比較相似性
>
> 在實務上，是否要先正規化向量，會影響它和內積的關係

### 中英對照與常見說法

| 說法 | 出現場合 |
| --- | --- |
| 餘弦相似度 | 台灣正式用語 |
| 余弦相似度 | 簡體寫法 |
| Cosine Similarity | 英文原名 |
| 夾角餘弦 | 強調幾何意義時的說法 |
| 相似度（similarity） | 泛稱，向量檢索脈絡下多半就是指餘弦相似度 |

### 公式與實際算一次

> 兩個向量 A 與 B 的餘弦相似度定義為：
>
> **cos(θ) = (A · B) / (‖A‖ × ‖B‖)**
>
> 分子是內積，分母是兩個向量長度的乘積。實際算一次：
>
> A = [1, 2, 3]，B = [2, 4, 6]
>
> | 步驟 | 計算 | 結果 |
> | --- | --- | --- |
> | 內積 A · B | 1×2 + 2×4 + 3×6 | 28 |
> | ‖A‖ | √(1 + 4 + 9) | 3.742 |
> | ‖B‖ | √(4 + 16 + 36) | 7.483 |
> | 相似度 | 28 ÷ (3.742 × 7.483) | 1.0 |
>
> 結果剛好是 1，因為 B 就是 A 乘以 2，兩個向量方向完全相同。這正是餘弦相似度的關鍵性質：**它只看方向，不看長度**。
>
> 值域是 -1 到 1。1 代表方向相同，0 代表垂直（無關），-1 代表方向相反。用在文字嵌入時實務上很少出現負值，因為多數嵌入模型的輸出落在相近的區域。

### 跟其他距離的取捨

| 度量 | 看的是 | 適合 |
| --- | --- | --- |
| 餘弦相似度 | 方向 | 文字嵌入、向量檢索，因為文件長短不該影響主題相似度 |
| 歐氏距離 | 絕對位置 | 座標、影像特徵等長度本身有意義的情境 |
| 內積 | 方向加上長度 | 推薦系統，長度可以編碼熱門程度 |
| Jaccard 相似度 | 集合重疊比例 | 標籤、關鍵字這類集合型資料 |

> 一個常被忽略的等價關係：**向量先做 L2 正規化之後，內積就等於餘弦相似度，歐氏距離的排序也跟餘弦相似度一致**。所以多數向量資料庫的做法是入庫前先正規化，之後統一用內積算，速度最快。

### 情境判斷

> **Q1（直覺題）：** 兩段文字長度差很多，但主題很像，餘弦相似度還能有效嗎？
>
> → 可以，因為它主要看方向，不太在意長短。
>
> **Q2（判斷題）：** 如果兩個向量很長，餘弦相似度就一定比較高嗎？
>
> → 不一定，長度不是它最在意的事，方向才是。

### 常見問題

> **Q：餘弦相似度一定介於 0 到 1 嗎？**
>
> 不一定，若允許負向量，範圍可以到 -1 到 1。
>
> **Q：文字比對一定要用餘弦相似度嗎？**
>
> 不一定，但它是最常見也最直觀的方法之一。
>
> **Q：它和關鍵字比對差在哪？**
>
> 關鍵字比對看字面，餘弦相似度看語意向量的方向。

### 相關術語

> - **嵌入表示**：沒有向量，就沒有餘弦相似度可比
> - **向量資料庫**：常拿餘弦相似度做檢索排序
> - **語義搜尋**：最常搭配的應用場景
> - **Word2Vec**：早期很常拿來產生詞向量
> - **正規化**：理解它，才能看懂餘弦相似度和內積的關係

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來源：https://aiterms.tw/terms/cosine-similarity
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最後更新：2026/07/29
深度解說：https://aiterms.tw/learning/what-is-cosine-similarity